《數獨》是 PiuPiu Games 的經典 9×9 數獨網頁遊戲，從「入門」到「傳奇」共 10 級難度。我們的數獨沒有預先存好的題庫，每一題都是在你的瀏覽器裡當場生成的。這篇手記說明三件事：題目怎麼生成、怎麼保證只有一個解，以及 10 級難度到底是用什麼標準分出來的。
為什麼一定要唯一解
數獨的規則只有一句：每一行、每一列、每一個 3×3 宮格，都要剛好填入 1 到 9。但一題「好」的數獨還有一個沒寫出來的條件：答案只能有一個。
如果一題有兩個解，玩家解到最後一定會卡在某幾格：兩個數字放哪邊都合規則，只能用猜的。猜對了沒有成就感，猜錯了還會被判錯，這會破壞數獨最迷人的地方——每一步都可以靠推理得出來。所以我們訂下第一條規矩：每一題都必須經過驗證，確認只有唯一解，才會出現在你面前。
從完整的答案開始「挖洞」
生成一題數獨的方法，其實是倒過來做的：
- 先隨機排出一個完整、合法、81 格全滿的終盤。
- 把 81 個格子的順序打亂，一格一格嘗試拿掉數字。
- 每拿掉一格，就檢查剩下的盤面是否仍然只有一個解。還是唯一解，這格就挖掉；出現第二個解，就把數字放回去，換下一格。
- 挖到這一級的目標提示數，就停下來。前 5 級要剛好挖到目標格數；第 6 級以後越挖越難，允許比目標多 1 格。
檢查唯一解的方法，是讓電腦用最直接的方式把所有可能填法都試一遍，但只要找到第二個解就立刻停止——我們不需要知道有幾個解，只要知道「是不是剛好一個」。這讓每一次檢查都很快，整題可以在瀏覽器裡即時完成，不需要等待。
另外，同一個亂數種子一定會生成同一題。這讓「進行中的題目自動存檔」能夠運作：你中途關掉網頁，20 小時內回來，看到的會是原本那一題。
提示數越少越難？只對一半
最直覺的難度標準是開局已經填好的格數，我們稱為「提示數」。我們的 10 級提示數是這樣遞減的：
- 第 1 級（入門）47 格、第 2 級（新手）43 格、第 3 級（初階）39 格、第 4 級（進階）36 格、第 5 級（熟練）33 格
- 第 6 級（高手）30 格、第 7 級（專家）28 格、第 8 級（大師）27 格、第 9 級（宗師）25 格、第 10 級（傳奇）24 格
（第 6 級起允許多 1 格，所以第 9 級偶爾會出現 26 格、第 10 級偶爾會出現 25 格的題目。）
但只看提示數是不夠的。實際測試時我們發現，兩題提示數一樣多的數獨，難度可以差非常多：有的題目每一步都有一格「明顯只能填這個」，可以一路順順地填完；有的題目填到一半就沒有明顯的下一步了，必須用更進階的推理技巧，甚至要同時考慮好幾格的可能性。對玩家來說，難不難的感受來自「卡住的次數」，而不是空格的多寡。
真正的分水嶺：只用兩種基本技巧解不解得完
所以我們加了第二個標準。數獨最基本的推理技巧有兩種：
- 唯一候選：看某一格，它所在的行、列、宮已經出現了 8 種數字，剩下的那一個就是答案。
- 隱性唯一：看某一行（或列、宮），數字 7 只剩一個格子放得進去，那一格就是 7——即使那一格本身還有其他候選數字。
每生成一題，我們都讓一個「只會這兩招」的解題程式去解它：
- 第 1～7 級：題目必須能被這兩招從頭解到尾。也就是說，不論空格多少，你永遠找得到下一步，不需要猜、也不需要進階技巧。這是「順暢級」，適合放鬆、適合剛學數獨的人。
- 第 8～10 級：反過來，題目必須無法只靠這兩招解完。解到某個階段，一定會遇到兩招都用不上的盤面，這時候需要筆記候選數、觀察數對或更進階的排除法。這是「燒腦級」。
生成時如果挖出來的題目分級不符——例如第 8 級的題目太順、或第 5 級的題目卡住了——就整題丟掉，換一個新的終盤重來。每次調整難度表，我們都會讓驗證程式在每一級批次生成多題，逐題確認唯一解、提示數在目標範圍內、分級正確，而且生成時間夠短，全部通過才會上線。
我們實際量過：同樣的提示數，難度差多少
「提示數不能單獨代表難度」不是一句口號，我們用出題程式本身量過。做法是：每一級各生成 300 個完整終盤，照該級的目標提示數挖洞，然後不做任何篩選，直接交給「只會唯一候選和隱性唯一」的解題程式去解，看有幾成解得完。
| 難度 | 目標提示數 | 挖完直接用兩招解得完的比例 | 這一級要的題目 | 一次就合格的比例 |
|---|---|---|---|---|
| 1 入門 | 47 | 100% | 解得完 | 100% |
| 3 初階 | 39 | 約 99.7% | 解得完 | 約 99.7% |
| 5 熟練 | 33 | 約 96% | 解得完 | 約 96% |
| 6 高手 | 30 | 約 83% | 解得完 | 約 83% |
| 7 專家 | 28 | 約 74% | 解得完 | 約 74% |
| 8 大師 | 27 | 約 65% | 解不完 | 約 35% |
| 9 宗師 | 25 | 約 50% | 解不完 | 約 48% |
| 10 傳奇 | 24 | 約 41% | 解不完 | 約 50% |
這張表說明了兩件事。第一，就算只剩 24 個提示，仍然有四成左右的題目只靠兩個基本技巧就能解完——如果我們只看提示數，第 10 級每出十題，就會有四題其實「不難」。第二，第 7 級和第 8 級只差 1 個提示，但第 8 級要把約三分之二的候選題丟掉，只留下真的會讓人卡住的那幾題。玩家感受到的那道「從第 8 級開始突然變難」的牆，就是這樣刻意做出來的，不是提示數少 1 格自然產生的。
反過來看前 5 級：挖到 33 格以上，幾乎每一題都天生解得完，篩選只是保險。真正需要篩選把關的是第 6、7 級：大約每五題就有一題，在 28～30 個提示下會出現基本技巧用不上的地方，我們把這些題目擋掉，才能讓「前 7 級永遠找得到下一步」這個承諾成立。
為什麼傳奇級停在 24 格
數學上已經證明，有唯一解的數獨最少需要 17 個提示。那為什麼我們最難的一級只挖到 24 格？
原因在挖洞法本身。我們的方法是「隨機一格一格拿，拿了會出現第二個解就放回去」，它會在某個時刻卡住：剩下的每一格，拿掉都會破壞唯一解。我們用同一套方法拿 200 個終盤一路挖到挖不動為止，最少停在 21 格，最多停在 27 格，一半的終盤挖到 24 格左右就再也挖不下去。也就是說，24 格已經貼近這種挖法的天然極限；要挖到 17、18 格，得換成專門搜尋稀疏題目的方法，生成時間會長到無法在瀏覽器裡即時完成。
這也是為什麼後 5 級允許多 1 格：到了第 10 級，大約每七個終盤就有一個挖不到 25 格以下，與其讓玩家等，不如換一個終盤重來。生成程式最多會重來 400 輪，實際上平均兩、三輪就會成功；我們在測試電腦上每一級連續生成 20 題，第 10 級平均每題約 16 毫秒、最慢約 57 毫秒，按下開始的瞬間題目就出來了。萬一 400 輪真的用完（實際上幾乎不可能），程式會交出最後一題，它仍然保證唯一解，只是分級可能略偏。
晉級制：為什麼要「完美解題」
10 級難度不是一開始就全部開放的。要解鎖下一級，需要在目前的難度：
- 累計解開足夠的題數：第 1～2 級各 2 題，第 3～5 級各 3 題，第 6～8 級各 4 題，第 9 級 5 題。
- 其中至少 1 題是完美解題：不用提示、不填錯任何一格。
為什麼要加「完美」這個條件？因為每題有 3 次提示，提示會直接填入正確答案。如果靠提示就能一路晉級，玩家可能在還沒學會推理的時候就被送到第 8 級，然後在燒腦級整個卡死。要求至少一題完美，等於確認「你已經能靠自己解完這個難度」，再往上走。練習的時候可以放心用提示學習思路，正式衝級時再全程手解。
填錯也有規則：填錯一次記一次錯誤，錯滿 3 次這題就失敗。這不是為了懲罰，而是鼓勵把不確定的數字寫成筆記，而不是用試填去賭運氣。我們的筆記功能會自動排除：你在某一格填入數字時，同行、同列、同宮裡筆記中的同一個數字會自動消掉，省去大量手動整理的時間。
一個後來補上的漏洞：看廣告續題不能洗掉錯誤
錯滿 3 次失敗時，可以看一次廣告，原題繼續解。上線初期，續題會把錯誤次數整個歸零，結果出現一個沒想到的後門：玩家錯了 3 次、看廣告續題、錯誤變成 0，解完之後這題竟然被算成「零錯誤」，可以拿來滿足晉級要的完美解題。
2026 年 10 月我們做全平台的資料一致性檢查時發現了這件事，改成把錯誤分成兩個數字：一個是「這一輪還能錯幾次」，續題時歸零，讓你有機會把題目解完；另一個是「這一題總共錯了幾次」，永遠不歸零，計分扣分、完美判定和上傳成績一律看這一個。所以現在續題後雖然可以解完，但這題不會再算完美，錯誤扣分也照算。遊戲裡的失敗視窗也同步改了說明文字，讓你在看廣告之前就知道這個代價。
提示的設計也有一個小細節：如果你按提示時沒有選任何格子，程式會挑盤面上「候選數字最少」的空格幫你填。那通常就是整個盤面裡最關鍵、最卡的一格，3 次提示用在那裡，最能幫你把題目推下去。
存檔續解：跟其他遊戲反過來的決定
平台上有些遊戲刻意不存進行中的盤面，例如對對碰。數獨我們做了相反的決定：進行中的題目會自動存檔，20 小時內回來都能接著解，不會再扣一次愛心。
理由是一題數獨的時間長度。高難度一題可能要十幾、二十分鐘，中途接個電話、搭車到站就得關掉網頁；如果因此整題作廢，對任何年紀的玩家都太不友善。存檔能這麼輕巧，靠的正是前面說的「同一個種子一定生成同一題」：我們只要記住種子、你已經填的數字、筆記、提示與錯誤次數和已用的時間，回來時把題目重新生成一次就好，不必把整個題目和答案存在你的裝置上。至於為什麼是 20 小時而不是 24 小時：每局開始時伺服器發給這一局的憑證有效 24 小時，我們留了 4 小時的餘裕，確保你在期限內解完一定能正常上傳成績。
分數怎麼算
單題分數由四個部分組成：難度基礎分是「難度 × 1000」；如果比標準時間快，每快 1 秒加 3 分；每用一次提示扣 300 分、每填錯一次扣 150 分；分數最低不會低於「難度 × 100」。標準時間從第 1 級的 330 秒開始，每升一級多 90 秒，到第 10 級是 1140 秒。
排行榜先比你解開過的最高難度，同難度再比單題最高分。這樣排名主要反映「你能解到多難」，速度只是同級之間的比較，不會讓一位快手在第 3 級的分數贏過一位慢慢解開第 9 級的玩家。
每日挑戰：同一顆種子，全世界同一題
2026 年 10 月底我們加了每日挑戰：每天一題，以台灣日期換日，全世界的玩家拿到同一題。這件事能做到，也是因為生成器「同種子同題」——我們不需要每天把題目傳給每個人，只要大家用同一天的日期當種子，各自的瀏覽器就會生成一模一樣的數獨。
難度依星期幾固定，從週一的第 2 級一路爬到週六的第 7 級，週日是一週裡唯一的第 8 級（詳細對照見攻略的每日挑戰章節）。這樣排的用意是讓一週有節奏：平日每天稍微難一點，週日留一題需要進階技巧的題目，給還沒升到第 8 級的玩家一個免費試試燒腦級的機會。
每日挑戰刻意做得很輕：不扣愛心、不上排行榜、也不算進 10 級晉級的進度，只記你自己的連續天數。結算時只放一顆「分享結果」，用文字和星星表示成績，沒有另外放圖片成績卡，因為兩顆分享鈕並排容易讓人分不清該按哪一顆。每日專屬的排行榜要另外建資料表，我們決定等玩每日挑戰的人多起來再做。
寫在最後
數獨是一個規則幾乎不用改的經典遊戲，我們能做的，是讓每一題都「公平」：保證有唯一解、保證難度標示可信、保證你卡住的時候，是因為還沒看到那一步，而不是題目出錯。如果你是第一次玩，從第 1 級開始，熟悉唯一候選和隱性唯一這兩個技巧，到了第 7 級，你會驚訝自己已經能在 28 個提示裡一路推理到底。
讀完幕後，實際玩一局
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